Analisi I

Grafici di Funzioni

Quoziente di Newton == m, pendenza, coefficiente angolare

tasso medio di variazione di f nel passaggio da x_1 a x_2

pendenza di un grafico in un punto (x_1, f(x_1)) == derivata prima nel punto

• limite da x_2 a x_1

• pendenza non definita se pendenza da sx != pendenza da dx

funzione localmente dritta in ( x_1 , f(x_1) )

se possibile definirne la pendenza in x_1

retta tangente

retta passante per un punto con pendenza = alla funzione cui e' tangente

Teoremi

Monotonia / Segno della pendenza

• f monotona crescente <=> pendenza di f su (a,b) e' positiva

• f monotona decrescente <=> pendenza di f su (a,b) e' negativa

Convessita' / Monotonia della pendenza

• f convessa \/ <=> la pendenza cresce

• f concava /\ <=> la pendenza e' decrescente

Integrali

Integrali definiti

Area sottesa al grafico

Ottenibile per approssimazione suddividendo in N intervalli con N –> infinito

• sum(a,b) F(x)dx

• intervalli dx = (b-a) / N

• NB: abbiamo un integrale definito solo se il limite di N a infinito esiste finito e non dipende dagli z_i scelti (ad esempio z_i punto medio del intervallo corrispondente)

[sum(i=1,N) F(z_i)] * (b-a)/N = S_N ~~~~ Somma di Riemann di F

calcolo della media di una funzione

• Somma di Riemann / (b-a)

Calcolo Integrale

Integrali Impropri

1. f non limitata - intervallo limitato
2. f limitata - intervallo non limitato Condizione necessaria alla convergenza (come nelle serie a termini positivi) limite a +inf = 0

integrale(1,+inf)(1/x^a)dx

• a <= 1 ==> divergente
• a > 1 ==> convergente a 1/(a-1)

convergenti

divergenti

Teoremi

T. di Torricelli-Barrow

T. fondamentale del calcolo integrale

• sia G(x) := integrale(a,x)f(t)dt

• Allora G derivabile e G'(x) = f(x) per qualsiasi x nel intervallo [a,b]

  • ovvero: G e' una primitiva di f su [a,b]

T. della Media integrale L20

• Media = Somma di Riemann / (b-a)

Limiti

Finito a Finito

lim(x->c)f(x) = l

Qualsiasi epsilon > 0 Esiste delta > 0 (definito da epsilon) : x appartiene all’intorno di raggio delta di c tolto c ==> f(x) appartiene all’intorno di raggio epsilon di l

Finito all’infinito

Infinito al finito

Infinito all’infinito

possibili asintoti obliqui

Funzioni Continue

hanno limiti in x che coincidono con f(x) per tutto il dominio

• non ha salti ne buchi definiti in un secondo momento

Continuita' delle f elementari

Continuita' somma, prodotto e inverso

Continuita' della funzione composta

Limiti Notevoli

Funzioni asintotiche

lim(x->c)[f(x)/g(x)] = 1

f(x) ~ g(x) per x -> c

sin(x) ~ x per x -> 0

1 - cos(x) ~ 1/2x per x -> 0

lg(1+x) ~ x per x -> 0

e^x ~ 1+x per x -> 0

Teoremi

Permanenza del Segno

T. del confronto

• limiti finiti

• limiti infiniti

T. di Weierstrass

• Se f continua in [a,b]

  • esistono x_m minimo assoluto e x_M massimo assoluto appartententi a [a,b] :
  • f(x_m) <= f(x) <= f(x_M)

f Derivabile ==> f Continua

Differenziale

Teorema di Lagrange

per una f

• continua per [a,b]

• derivabile in (a,b)

esiste un c contenuto in (a,b):

la sua derivata coincide con la pendenza della retta passante per a e b estremi di f, quindi la pendenza media

Approssimazione locale di funzioni

Usando il polinomio di Taylor di ordine n

O polinomio di Maclaurin (Taylor centrato in 0)

Successioni

una funzione che associa ad ogni intero positivo un numero in R

• convergente => limitata
• divergente a +inf => inferiormente limitata
• divergente a -inf => superiormente

a e b sono dette asintotiche se il loro rapporto a +inf tende a 1 <=> a ~ b

Successione Geometrica L14

• a_n = q * a_n-1 == q^n * a_0

dove q e' detta ragione

Confronti di crescita L15

f = o(g) per x -> +inf

g cresce piu' velocemente e il rapporto f/g tende a 0 a +inf

Teorema di de l’Hopital

il limite del rapporto delle derivate e' uguale al limite del rapporto delle funzioni

Simboli di Landau

• f = O(g) per x -> +inf se il limite |f/g| = L
  • f = o(g) per x -> +inf se il limite f/g = 0
  • f ~ g per x -> +inf se il limite f/g = 1

Ricorrenze Lineari

• x_n+1 = ax+n + b
• x_0

a=1

• b=0 successione costante
• b!=0 divergente a +-infinito

a!=1

• x* = b/(1-a) dove x* e' punto fisso di f: f(x*) = x*

-1 < a < 1

• converge

  a	> 1

• diverge

Risoluzione approssimata di equazioni

Teorema delle’esistenza degli zeri L17

• sia f: [a,b] –> R continua
• f(a)f(b) < 0

Allora

• Esiste un c contenuto in (a,b): f(c) = 0 (non e' detto sia unico)

Metodi di bisezione L17

Metodo di Newton L18

f due volte derivabile

• f(a)f(b) < 0
• f' e f'' hanno segno costante su [a,b]
• f(a)f''(a) > 0 OPPURE f(b)f''(b) > 0

Allora

• esiste uno e uno solo alpha incluso in (a,b): f(alpha) = 0

Serie

Somme di infiniti termini ~ sommatorie di successioni L19

• convergente se limite a +inf di S_N = S
• divergente se limite a +inf di S_N = inf
• irregolare/oscillante/indeterminata se non esiste limite a +inf di S_N

Se a_n >= 0 allora S_N non e' irregolare

• sum(n=0,+inf)q^n
  • 0 <= q < 1 ==> converge a 1/(1-q)
  • q >= 1 ==> diverge a +inf

Serie Geometrica

sum(n=0,+inf)q^n

• -1 < q < 1 converge 1/(1-q)
• q <= -1 irregolare
• q >= 1 diverge positivamente

Serie Armonica

1/n (diverge a +inf) o generalizzata: 1/(n^a)

• 0 < a <= 1 ==> serie divergente
• a > 1 ==> convergente

Serie Esponenziale L24

Dimostrazioni

T. del Confronto L9

Continuita' delle f derivabili

Caratteriz. delle f a derivata nulla su un intervallo L11

Carat. delle primitive delle stessa f L11

Test di monotonia L11

Concavita' e convessita' di f e monotonia della sua derivata prima L12

Calcolo del polinomio di McLaurin di ordine n di

e^x

log(1+x)

sin(x)

cos(x)

(1+x)^a

T fondamentale del Calcolo Integrale L21

T di Torricelli-Barrow L21

T. esistenza degli zeri L17

T di convergenza del metodo di Newton L18

Condizione necessaria di convergenza di una serie L19

che il suo n-esimo termine sia infinitesimo

Convergenza e divergenza della serie geometrica

Criterio del confronto integrale per la convergenza di una serie L24

Convergenza/divergenza delle serie armoniche generalizzate L20